Куб раствора как посчитать: сколько бетона нужно на фундамент

Решив головоломку «Сумма кубов» на 42, математики находят новое решение на 3 | Новости Массачусетского технологического института

Что вы будете делать после того, как найдете ответ на вопрос о жизни, вселенной и обо всем остальном? Если вы математики Дрю Сазерленд и Энди Букер, вы решаете более сложную задачу.

В 2019 году Букер из Бристольского университета и Сазерленд, главный научный сотрудник Массачусетского технологического института, первыми нашли ответ на число 42. Это число имеет значение для поп-культуры как вымышленный ответ на «главный вопрос жизни, Вселенная и все такое», как написал Дуглас Адамс в своем романе «Автостопом по Галактике». Вопрос, который порождает число 42, по крайней мере, в романе, к сожалению, до смешного неизвестен.

В математике, совершенно случайно, существует полиномиальное уравнение, для которого ответ 42 также ускользал от математиков на протяжении десятилетий. Уравнение x ³ +y ³ +z ³ =k известно как задача суммы кубов. Хотя уравнение кажется простым, решение становится экспоненциально трудным, если представить его как «диофантово уравнение» — задачу, которая требует, чтобы для любого значения k значения x, y и z были целыми числами.

Когда уравнение суммы кубов составлено таким образом, для определенных значений k целые решения для x, y и z могут вырасти до огромных чисел. Числовое пространство, в котором математики должны искать эти числа, еще больше, что требует сложных и масштабных вычислений.

На протяжении многих лет математикам удавалось с помощью различных средств решать уравнение, либо находя решение, либо определяя, что решения не должно существовать, для каждого значения k от 1 до 100, кроме 42.

В сентябре 2019 года Букер и Сазерленд, используя объединенную мощь полумиллиона домашних компьютеров по всему миру, впервые нашли решение для 42. Широко известное открытие побудило команду заняться еще более сложной, а в некоторых случаях гораздо более универсальная задача: найти следующее решение для 3.

Букер и Сазерленд опубликовали решения для 42 и 3, а также несколько других чисел, превышающих 100, на этой неделе в Proceedings of the National Academy of Sciences .

Получив рукавица

Первые два решения для уравнения x ³ + Y ³ + Z ³ = 3 может быть очевидно для любой средней школы. x, y и z могут быть либо 1, 1 и 1, либо 4, 4 и -5. Однако поиск третьего решения десятилетиями ставил в тупик специалистов по теории чисел, и в 1953 году головоломка побудила первопроходца-математика Луи Морделла задать вопрос: возможно ли вообще узнать, существуют ли другие решения для числа 3?

«Это было похоже на то, как если бы Морделл бросил перчатку, — говорит Сазерленд. «Интерес к решению этого вопроса заключается не столько в конкретном решении, сколько в том, чтобы лучше понять, насколько сложно решить эти уравнения. Это эталон, с которым мы можем сравнивать себя».

По мере того, как шли десятилетия, а новых решений для 3 не было, многие начали верить, что их не найти. Но вскоре после нахождения ответа на 42 метод Букера и Сазерленда за удивительно короткое время подвернул следующее решение для 3:

569936821221962380720 ³ + (-569936821113563493509) ³ + (-472715493453327032). более того, вот это решение. И, возможно, более универсально, решение, включающее гигантские 21-значные числа, которые до сих пор было невозможно отсеять, предполагает, что существует больше решений для 3 и других значений k.

«В математическом и вычислительном сообществе возникли серьезные сомнения, потому что [вопрос Морделла] очень сложно проверить», — говорит Сазерленд. «Числа становятся такими большими так быстро. Вы никогда не найдете больше, чем первые несколько решений. Но что я могу сказать, так это то, что, найдя это единственное решение, я убежден, что существует бесконечно много других».

Поворот решения

Чтобы найти решения как для 42, так и для 3, команда начала с существующего алгоритма или преобразования уравнения суммы кубов в форму, которая, по их мнению, будет более удобной для решения:

K — Z ³ = x ³ + y ³ = ( x + y ) ( x 2 – 212121212121211 29211212121211 2921121121 2 – ar 12121212121211. ² )

Этот подход был впервые предложен математиком Роджером Хит-Брауном, который предположил, что для каждого подходящего k должно быть бесконечно много решений. Команда модифицировала алгоритм, представив x+y в виде одного параметра, d. Затем они сократили уравнение, разделив обе его части на d и сохранив только остаток — операция, называемая в математике «по модулю d», — оставив упрощенное представление проблемы.

«Теперь вы можете думать о k как о кубическом корне из z по модулю d», — объясняет Сазерленд. «Итак, представьте, что вы работаете в системе арифметики, где вас интересует только остаток по модулю d, а мы пытаемся вычислить кубический корень из k».

В этой более изящной версии уравнения исследователям нужно будет искать только такие значения d и z, которые гарантировали бы нахождение окончательных решений x, y и z при k=3. Но тем не менее пространство чисел, которое им пришлось бы перебирать, было бы бесконечно большим.

Итак, исследователи оптимизировали алгоритм, используя математические методы «просеивания», чтобы резко сократить пространство возможных решений для d.

«Это связано с довольно продвинутой теорией чисел, использующей структуру того, что мы знаем о числовых полях, чтобы избежать поиска в местах, где нам не нужно искать», — говорит Сазерленд.

Глобальная задача

Команда также разработала способы эффективного разделения поиска алгоритма на сотни тысяч параллельных потоков обработки. Если бы алгоритм запускался только на одном компьютере, потребовались бы сотни лет, чтобы найти решение k=3. Разделив работу на миллионы более мелких задач, каждая из которых выполняется независимо на отдельном компьютере, команда могла еще больше ускорить поиск.

В сентябре 2019 года исследователи реализовали свой план с помощью Charity Engine, проекта, который можно загрузить в виде бесплатного приложения на любой персональный компьютер и который предназначен для использования любых свободных домашних вычислительных мощностей для коллективного решения сложных математических задач. В то время сеть Charity Engine включала более 400 000 компьютеров по всему миру, и Букер и Сазерленд смогли запустить свой алгоритм в сети в качестве теста новой программной платформы Charity Engine.

«Для каждого компьютера в сети им говорят: «Ваша задача — найти d, чей главный множитель попадает в этот диапазон, при соблюдении некоторых других условий», — говорит Сазерленд. «И нам нужно было придумать, как разделить работу примерно на 4 миллиона задач, выполнение каждой из которых займет у компьютера около трех часов».

Очень быстро глобальная сетка вернула самое первое решение для k = 42, и всего две недели спустя исследователи подтвердили, что нашли третье решение для k = 3 — веху, которую они частично отметили, напечатав уравнение на футболках.

Тот факт, что существует третье решение для k = 3, говорит о том, что первоначальная гипотеза Хита-Брауна была верна и что существует бесконечно больше решений помимо этого новейшего. Хит-Браун также предсказывает, что расстояние между решениями будет расти экспоненциально вместе с их поиском. Например, вместо 21-значных значений третьего решения четвертое решение для x, y и z, скорее всего, будет включать числа с ошеломляющими 28 цифрами.

«Объем работы, который вам нужно выполнить для каждого нового решения, увеличивается более чем в 10 миллионов раз, поэтому для поиска следующего решения для 3 потребуется 10 миллионов раз 400 000 компьютеров, и нет никакой гарантии, что этого даже достаточно», — говорит Сазерленд. «Я не знаю, узнаем ли мы когда-нибудь четвертое решение. Но я верю, что он там».

Это исследование было частично поддержано Фондом Саймонса.

Объяснение урока: Решение кубических уравнений: Извлечение кубических корней

В этом объяснении мы узнаем, как решать кубические уравнения, используя свойство кубического корня.

Начнем с того, что вспомним, что кубический корень числа 𝑎, записанный √𝑎, — это число, куб которого равен 𝑎. Другими словами, √𝑎=𝑎. Мы можем использовать это для упрощения или вычисления выражений. Например, мы знаем, что 2=8; следовательно, мы можем оценить √8=2.

Это не единственное использование кубического корня. Мы также можем использовать эту идею для решения уравнений. Например, представьте, что нам сказали, что объем куба 8 см ³ . Тогда мы можем сказать, что у куба длины сторон 𝑥 см, чтобы получилось следующее.

Объем этого куба равен 𝑥, поэтому мы можем составить следующее уравнение: 𝑥=8.

Мы знаем, что 2=8; однако мы также можем решить это уравнение, взяв кубические корни из обеих частей уравнения. Это дает √𝑥=√8.

Мы знаем, что √𝑥=𝑥 и √8=2; следовательно, 𝑥=2.

Стоит отметить, что мы знаем, что это единственное значение 𝑥, которое решает это уравнение, так как увеличение длины стороны увеличит объем а уменьшение длины стороны уменьшит объем. В целом это верно: увеличение значения 𝑥 увеличит значение 𝑥, а уменьшение значения 𝑥 приведет к уменьшению значения 𝑥. Следовательно, 𝑥=𝑎 будет иметь только одно решение для любого действительного значения 𝑎.

Это не относится к квадратному корню, так как 2=4, но и (−2)=4. Это причина того, что мы находим положительный и отрицательный корень при извлечении квадратных корней из обеих частей уравнения, но есть единственное решение при извлечении кубических корней.

Давайте теперь рассмотрим пример решения некоторых кубических уравнений.

Пример 1. Решение кубического уравнения перестановкой

Решите кубическое уравнение 𝑥=8 в ℚ.

Ответ

Возьмем кубический корень из обеих частей уравнения, чтобы увидеть 𝑥=√8.

Затем мы вспоминаем, что 2=8, поэтому √8=2. Следовательно, 𝑥=√8=2.

В нашем следующем примере мы увидим, как решить кубическое уравнение, где переменная в кубе равна рациональному числу.

Пример 2. Решение кубического уравнения с дробью

Решите 𝑥=278.

Ответ

Начнем с извлечения кубических корней из обеих частей уравнения, где заметим, что √𝑥=𝑥. Это дает 𝑥=278.

Затем мы вспоминаем, что если 𝑎 и 𝑏 — совершенные кубы и 𝑏≠0, то 𝑎𝑏=√𝑎√𝑏. Заметим, что √27=3 и √8=2, поэтому оба являются совершенными кубами и, следовательно, 𝑥=278=√27√8=32.

Следовательно, 𝑥=32.

В нашем следующем примере мы будем решать кубическое уравнение с помощью первой перестановки.

Пример 3. Решение кубического уравнения перестановкой

Найдите значение 𝑦 при условии, что −1000𝑦−27=0.

Ответ

Поскольку переменная в этом уравнении возведена в куб, нам нужно будет извлечь кубические корни из обеих частей уравнения. Однако для того, чтобы сделать это, сначала нам нужно изменить уравнение так, чтобы кубический фактор был изолирован на одной стороне уравнения.

Сначала мы добавляем 27 к обеим частям уравнения, чтобы получить −1000𝑦=27.

Затем разделим обе части уравнения на −1000; это дает 𝑦=−271000.

Теперь мы можем взять кубические корни из обеих частей уравнения, чтобы получить 𝑦=−271000.

Тогда вспомним, что если 𝑎=𝑛, 𝑏=𝑚 и 𝑏≠0, то 𝑛𝑚=√𝑛√𝑚=𝑎𝑏. Заметим, что √−27=−3 и √1000=10; следовательно, 𝑦=−271000=√−27√1000=−310.

В нашем следующем примере мы решим другое уравнение путем перестановки.

Пример 4. Преобразование уравнения в кубическое уравнение и его решение

Учитывая, что 𝑥∈ℝ и −𝑥10=100𝑥, определите значение 𝑥.

Ответ

Чтобы решить уравнение этой формы, мы должны отметить, что умножение уравнения на 𝑥 соберет все переменные в единый термин. Чтобы оправдать умножение уравнения на 𝑥, отметим, что мы делим на 𝑥 в исходном уравнении, поэтому 𝑥 не может быть нулем. Следовательно, −𝑥10×𝑥=100𝑥×𝑥.

Мы сократим общий множитель 𝑥 в правой части уравнения, поскольку 𝑥≠0, и упростим; это дает −𝑥10=100.

Затем мы умножаем уравнение на −10, чтобы получить 𝑥=−1000.

Наконец, мы берем кубические корни из обеих частей уравнения, где мы отмечаем, что (−10)=−1000, поэтому √−1000=−10. Это дает 𝑥=√−1000=−10.

До сих пор мы имели дело только с простыми уравнениями, включающими кубы. Однако операции могут выполняться внутри кубической операции. Например, представьте, нам говорят, что отцу 65 лет и он на год старше, чем в два раза больше возраста его сына в кубе. Мы можем использовать кубический корень определить возраст сына.

Во-первых, нам нужно преобразовать эту информацию в уравнение. Для этого будем работать в обратном направлении. Назовем возраст сына 𝑥. Нам говорят, что отцу 65 лет и он на год старше, чем в два раза больше возраста его сына в кубе. Итак, нам нужно кубик дважды 𝑥 и затем прибавляем 1; тогда это равно 65. Мы имеем (2𝑥)+1=65.

Мы можем вычесть 1 из обеих частей, чтобы получить (2𝑥)=64.

Затем мы можем взять кубические корни из обеих частей уравнения; это дает 2𝑥=√64=4.

Затем мы делим уравнение на 2, чтобы получить 𝑥=2.

Итак, возраст сына 2 года.

В общем случае мы можем решать уравнения вида (𝑎𝑥+𝑏)+𝑐=𝑑, если 𝑎≠0, и мы можем найти кубический корень из 𝑑−𝑐. Для этого нам нужно изменить уравнение, чтобы найти 𝑥. Мы можем сделать это, используя следующий метод.

Как: Решение кубического уравнения

Чтобы решить кубическое уравнение вида (𝑎𝑥+𝑏)+𝑐=𝑑, где 𝑎, 𝑏, 𝑐 и 𝑑 константы и 𝑎≠0, нам нужно изменить уравнение для 𝑥.