Как вычесть объем: Как посчитать объем

Как найти Объем Параллелепипеда?

​ ​

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

262.8K

В 5 классе ученики знакомятся с объемными фигурами. Оглянитесь вокруг — мир состоит из параллелепипедов. Так что в любой непонятной ситуации просто ищите их объём. Давай научимся это делать. В статье найдете все необходимые формулы и правила.

Понятие объема

Чтобы без труда вычислить объём любой фигуры, нужно разобраться с определениями.

Объём — это количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом.

Другими словами, это то, сколько места занимает предмет.

Объём измеряется в единицах измерения размера пространства, занимаемого телом, то есть в кубических метрах, кубических сантиметрах, кубических миллиметрах.

За единицу измерения объёма можно принять куб с ребром 1 см, то есть, кубический сантиметр (см³), кубический миллиметр (1 мм³), кубический метр (1 м³).

Объём всегда выражается в положительных числах. Это число показывает, какое именно количество единиц измерения есть в теле. Например, сколько воды в бассейне, сока в графине, земли в клумбе.

Любое объемное тело имеет объем. Получается, при желании мы можем вычислить объем кружки, смартфона, вазы, кота — чего угодно.

Демоурок по математике

Узнайте, какие темы у вас «хромают», а после — разбирайте их без зубрежки формул и скучных лекций.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Параллелепипед — это многогранник с шестью гранями, каждая из которых является параллелограммом.

Прямоугольным параллелепипедом называют параллелепипед, у которого все грани являются прямоугольниками.

Чтобы не запутаться в формулах, запоминайте табличку с условными обозначениями.

Пример 1. Чему равен объем параллелепипеда со сторонами 9 см, 6 см, 3 см.

a = 9 см

b = 6 см

V = a × b × h

V = 9 × 6 × 3 = 162 см³.

Ответ: объем прямоугольного параллелепипеда равен 162 см³.

Из этого следствия выведем формулу нахождения площади основания параллелепипеда.

Пример 2. Найдите площадь основания параллелепипеда, если его объем равен 96 см³, а высота 8 см.

V = 96 см³

h = 8 см

V = S_осн × h

S_осн = V : h

S_осн = 82 см³ : 8 см = 12 см².

Ответ: площадь основания параллелепипеда равна 12 см².

Обучение на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart поможет быстрее разобраться в теме и правильно решать задачки!

Вычисление площади

Как вы уже поняли, вычисление объёма параллелепипеда напрямую зависит от вычисления его площади. Давайте разберемся, сколько всего площадей можно найти в параллелепипеде.

Чтобы найти площадь боковой поверхности параллелепипеда, вычислите по отдельности площадь каждой боковой грани, а затем найдите сумму получившихся значений.

Так как противолежащие грани прямоугольного параллелепипеда одинаковые, то получим формулу:

• S_{б. п.} = 2 (ac + bc)

Чтобы вычислить площадь полной поверхности параллелепипеда, сложите площадь боковой поверхности и две площади основания. Так как площади оснований у прямоугольного параллелепипеда одинаковые, то получим формулу:

• S_{п. п.} = 2 (ab + ac + bc)

Пример 3. Найдем площадь поверхности параллелепипеда, если длина основания равна 6 сантиметров, ширина — 4 см соответственно, а высота — 3 см.

S_{п. п.} = 2 (ab + ac + bc)

S_{п. п.} = 2 (6 × 4 + 6 × 3 + 4 × 3) = 2 × (24 + 18 + 12) = 2 × 54 = 108 см

Ответ: площадь поверхности параллелепипеда — 108 см².

Как видите, вычислить объём и найти площадь параллелепипеда совсем не трудно.

Задачи на самопроверку

Пользоваться онлайн-калькуляторами можно, когда вы уже натренировались в решении задачек и с закрытыми глазами можете вычислить объем любого параллелепипеда. Давайте разберем еще несколько примеров.

Задачка 1. Найдите объём параллелепипеда со сторонами 18 см, 10 см, 7 см.

a = 18 см

b = 10 см

h = 7 см

Формула нахождения объема параллелепипеда:

V = a × b × h

Подставляем наши числа:

V = 18 × 10 × 7 = 1260 см³.

Ответ: объём параллелепипеда равен 1260 см³.

Задачка 2. Найдите площадь основания параллелепипеда, если его объём равен 120 см³, а высота — 15 см.

Как решаем:

V = 120 см

h = 15 см

V = S_осн × h

S_осн = V : h

S_осн = 120 см³: 15 см = 8 см².

Ответ: площадь основания параллелепипеда равна 8 см².

Задачка 3. Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, если длина основания равна 30 сантиметров, ширина равна 12 см, а высота равна 5 см.

Как решаем:

S_{п. п.} = 2 (ab + ac + bc)

S_{п. п.} = 2 (30 × 12 + 30 × 5 + 12 × 5) = 2 × (360 + 150 + 60) = 2 × 570 = 1140 см²

Ответ: площадь полной поверхности параллелепипеда равна 1140 см².

Пусть все необходимые формулы будут под рукой в нужный момент. Сохраняйте табличку-шпаргалку на гаджет или распечатайте ее и храните в учебнике.

Шпаргалки по математике родителей

Все формулы по математике под рукой

Анастасия Белова

К предыдущей статье

Время, скорость, расстояние

К следующей статье

Порядок действий в математике

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

Как рассчитать объем картонной коробки зная ее размеры

Чтобы правильно выбрать картонные коробки для конкретного груза, необходимо предварительно рассчитать ее объем. Эта величина максимально отображает вместимость гофротары.

Расчет объема коробок

Картонные коробки имеют квадратную или прямоугольную форму. В этом случае они представляют собой параллелепипед. Из школьного курса нам известно, что для расчета объема этой фигуры необходимы длина, ширина и высота. Размеры можно измерить с помощью обычной линейки или рулетки.

Расчет объема, исходя из размера коробки, можно произвести по формуле:

Формула для подсчета:
V=a*b*h.
Где a – длина основания (мм),
b – ширина основания (мм),
h — высота коробки (мм),
V — объем (л).

Эта формула представляет собой расчет объема параллелепипеда. Поэтому, ее можно использовать только для прямоугольных коробок.

Для тех случаев, когда тара имеет нестандартную форму, вычислить ее объем можно по формуле:

Формула для подсчета:
V=S*h.
Где S – площадь основания, которую рассчитывают в зависимости от его формы. В случае треугольного, шестиугольного или восьмиугольных оснований расчет площади выполняется по разным формулам.

i

Поскольку, единицей объема в международной системе измерений (СИ) являются кубические метры (м³), то более правильно размер длины, ширины и высоты перевести в метры. Для тех, кто привык работать с сантиметрами или миллиметрами, можно оставить эту размерность. Но при расчете объема груза придется использовать только ее.

Внутренний и внешний объем коробки

Зная точный объем гофрокороба, можно без затруднений подобрать подходящий груз. Для этого по той же методике следует вычислить его объем. Если груз имеет сложную конфигурацию, то для расчетов нужно использовать габаритные размеры. Понятно, что объем тары должен быть немного больше.

При выборе груза нужно также учитывать, на основании внутренних или внешних размеров был рассчитан объем коробок. Результаты будут несколько отличаться. В некоторых случаях это может иметь значение.

По этой причине для точного определения допустимых размеров груза желательно использовать внутренние размеры тары. Габариты ящиков и грузов должны отличаться между собой на 5-10 мм. Наружные размеры коробок необходимы при заполнении кузова автотранспорта для их перевозки. Они могут также потребоваться при вычислении требующейся площади склада для хранения.

Пошаговая инструкция для вычисления объема

Мы ознакомились с необходимыми теоретическими сведениями по расчету объема коробки. Рассмотрим описанные выше действия пошагово.

1.

Измеряем длину коробки. Под ней подразумевают размер самой длинной стороны основания. Используем для этого рулетку или линейку. Переводим полученный размер в метры и записываем. Для небольшой тары измерения проще проводить в сантиметрах или миллиметрах. Если вы решили использовать одну из этих размерностей, примите во внимание, что остальные размеры, в том числе и габариты груза, нужно измерять в той же размерности.

2.

Измеряем ширину коробки. Это размер более короткой стороны основания. Применяем те же единицы измерения. Записываем или запоминаем полученный результат. Для полностью квадратных коробок длина и ширина совпадают.

3.

Далее необходимо измерить высоту нашей тары. Под высотой понимают сторону, расположенную перпендикулярно основанию. Проще говоря, это расстояние от нижнего клапана коробки до верхнего.

4.

На следующем этапе в соответствии с формулой вычисления объема все полученные размеры перемножаем. Если в процессе измерений мы выявили, что размер нашей коробки 100х200х300 мм, то объем в этом случае представляет собой произведение всех трех величин. V=100х200х300=6 000000 мм³ или 0,006 м³ .

5.

В некоторых случаях существует необходимость перевести полученную величину в литры (л). Знание количества кубических единиц дает возможность понять, сколько таких кубов можно вместить внутри конкретной коробки. При расфасовке жидких, мелких или сыпучих товаров, которые занимают полный объем тары, необходимо это значение выразить в литрах. Для этого используем соотношение 1 м³ = 1000 л. В нашем случае V = 0,006х1000=6 л.

Напоминаем, что эту методику можно применять только для картонных изделий прямоугольной или квадратной формы. Для других случаев придется вспомнить школьный курс геометрии более глубоко. Используйте формулу для нахождения площади многоугольника. По ней сможете вычислить площадь основания вашей тары. Умножив ее на высоту, легко получите величину объема.

Вычесть дырку из целого.

Иногда мне кажется, что учебники слишком строгие. За каждой суммой Римана стоит определенный интеграл. Таким образом, авторы обычно показывают, как решить прикладную задачу интегрирования, разрабатывая метод, начиная с суммы Римана и переходя к интегралу, который дает результат, который обобщается в «формуле». В этом нет ничего плохого, за исключением того, что часто учащиеся помнят формулу и теряются, сталкиваясь с похожей ситуацией, с которой формула не справляется. .

Объем задач о объемных фигурах разработан на основе идеи о том, что если объемная фигура имеет правильное поперечное сечение (то есть при разрезании перпендикулярно линии каждая грань похожа — в техническом смысле — на все остальные) . Все они квадраты, или равносторонние треугольники, или что-то еще. Последней рассматриваемой формой обычно является «шайба», то есть кольцо или две концентрические окружности. Это формируется путем вращения области между двумя кривыми вокруг линии. Авторы разрабатывают формулу для таких объемов: .

В этом нет ничего плохого, но мне нравится давать ученикам возможность покрасоваться. Обычно они могут найти ответ без сумм Римана. Вот мое предложение. После того, как студенты попрактиковались с круглыми поперечными сечениями (метод «Диск»), я даю им серию из трех томов для поиска.

Пример 1: Кривая на интервале [0, ½] вращается вокруг оси x , образуя сплошную фигуру. Найдите объем этой фигуры.

Решение: 

Пример 2: Кривая  на интервале [0, ½] вращается вокруг оси x , образуя объемную фигуру. Найдите объем этой фигуры.

Решение:

Они находят это легким. Затем, оставив первые два примера на видном месте, я привожу их:

Пример 3: Область в первом квадранте между графиками  и  вращается вокруг оси x . Найдите объем получившейся фигуры.

Небольшое размышление и (редко) намек, и они у них есть.

Что они сделали? Легко, они вычли дыру из целого. Мы обсуждаем это и почему они считают это правильным. Мы пробуем один или два других. И теперь они готовы решить любую задачу методом «стирки» без необходимости запоминать другую формулу.

Расширения:

1. В символах при вращении вокруг горизонтальной линии, если R ( x ) расстояние от кривой, наиболее удаленное от линии вращения и r ( x ) расстояние от ближайшей кривой до линии вращения результат можно суммировать по формуле

.

         Обратите внимание, что мне нравится оставлять  внутри знака интеграла, чтобы каждое подынтегральное выражение выглядело как формула площади круга. Что нужно знать учащимся, так это вычесть объемное отверстие из внешнего объема. С помощью этой                идеи и дискового метода они могут решить задачу любого объема с помощью шайб.

2. Вы должны показать учащимся, как приведенное выше уравнение можно преобразовать в формулу в их учебниках,

.

Это для того, чтобы они поняли, что формулы одинаковые, и не подумали, что вы забыли сказать им что-то важное. Это также хорошее упражнение в работе с обозначениями. (см. MPAC 5 – Беглость записи)

3. Затем обсудите, что такое область и как она связана с этой проблемой. Посмотрите, могут ли учащиеся понять, что делает учебник; какую форму использует книга.. Обсудите подход суммы Римана. (MPAC 1 Рассуждения с определениями и теоремами и MPAC 5 Свобода нотации)

4. С идеей вычитания «дырки» попробуйте решить подобную задачу. Пример 4 : Область в первом квадранте между осью x и графиками  и  вращается вокруг оси x . Найдите объем получившейся фигуры.

Решение:

(Обратите внимание на пределы интегрирования.)

Традиционно это делается методом цилиндрических оболочек, но вам это не нужно. Вы можете разделить область на две части вертикальной линией в точке 9.0011 x = 2 и используйте диски слева и шайбы справа, но и этого делать не нужно. Просто вычесть дырку из целого.

.

Нравится:

Нравится Загрузка…

Вычитание объема сетки из большой сетки — Grasshopper

giannaaaa (Джанна) 25 марта 2021 г., 12:49

#1

Привет! Я новичок в Grasshopper, и я пытался (безуспешно) использовать разницу в сетке, чтобы удалить объем сетки из более крупной сетки, которая полностью ее окружает. Вот как моя установка выглядит спереди, сверху и в перспективе:

Снимок экрана 2021-03-25 в 8:36:53 AM606×598 5,37 КБ

Скриншот 2021-03-25 в 8:36:59 AM708×680 37,7 КБ

эти две сетки:

Снимок экрана 2021-03-25 в 8. 55.54 AM506×936 29,8 КБ

Мне кажется, что проблема в том, что сетка, которую я пытаюсь вычесть, полностью окружена более крупной сеткой и не не пересекать его. Я попытался сделать так, чтобы меньший меш «пересекался» с внешним мешем, нарисовав кривую, преобразовав ее в трубу, а затем в меш. Я присоединил эту сетку-трубу к исходной сетке следующим образом:

Скриншот 2021-03-25 в 8.42.10 AM612×968 6,77 КБ

Однако, когда я выполнил различие сетки с этим объединенным мешем, я получил это:

Скриншот 2021-03-25 в 8.44.38 AM582×910 2,9 КБ

Не знаю, что еще теперь делать. Я буду признателен за любые ваши предложения. Спасибо!

инно 25 марта 2021 г., 13:28

#2

пожалуйста, опубликуйте свой файл кузнечика с интернализованными сетками

1 Нравится

(Джанна) 25 марта 2021 г. , 13:39

#3

Мой текущий файл Grasshopper очень сложен, поэтому я сделаю копию той части, с которой мне нужна помощь, и скоро загружу. Большое спасибо за ваш ответ!

джаннаааа (Джанна) 25 марта 2021 г., 14:09

#4

Извините за ожидание! Пожалуйста, найдите прикрепленный файл моего кузнечика и файл obj батареи, которую я загрузил
1.obj (754,4 КБ)
Loading_OBJ.gh (16,9 КБ)

inno 25 марта 2021 г., 15:56

#5

Я думаю, что проблема возникает из-за незакрытых сеток подфракций

image859×634 72,1 КБ

компонент трубы имеет вход Cap, где вы можете выбрать тип крышек трубы с помощью целого числа
вам также нужно будет сгенерировать закрытую сетку для файла 1. obj

1 Нравится

паром59 25 марта 2021 г., 16:08

#6

сделать не очень просто, но в данном случае возможно, посмотрите.
(с использованием weaverbird)

011824×936 245 КБ

Re_Loading_OBJ.gh (187,5 КБ)
С уважением
Ferry

2 лайка

джаннааааа (Джанна) 25 марта 2021 г., 18:35

#7

Большое спасибо! Теперь это работает.

джаннаааа (Джанна) 25 марта 2021 г.