Бревно оцилиндрованное размеры: Оцилиндрованное бревно – характеристики, размеры, плюсы и минусы

При работе с измерениями мы заботимся о достоверности результатов. Это приводит нас к двум концепциям.

Определение 1.2.2. Точность.

Точность измерения показывает, насколько близко измерение к фактическому значению.

Заметьте, если мы что-то измеряем, то только потому, что не знаем фактического значения. Таким образом, мы не можем определить точное значение многих видов данных. Вместо этого мы довольствуемся повторяемостью. Если мы будем получать один и тот же результат достаточно часто, мы сможем убедить себя, что он достаточно точен.

Определение 1.2.3. Точность.

Точность измерения – это размер наименьшей его единицы.

Обратите внимание, что мы можем иметь высокую точность при низкой точности. То есть то, что мы пишем много знаков после запятой, не означает, что они близки к реальному значению.

Подраздел 1.2.2 Значимые цифры

При записи измерений нам нужен способ указать, насколько точны измерения. Значащие цифры , также называемые значащих цифр или просто «значащие цифры» — способ сделать это.

Правила записи чисел со значащими цифрами состоят из двух частей: ненулевых цифр и нулевых цифр.

1. Все ненулевые цифры являются значащими.

2. Нули между ненулевыми значениями имеют значение.

3. Любые нули, записанные справа от десятичной точки, являются значащими.

4. Если предполагается, что нули между ненулевыми цифрами (слева) и десятичной точкой (справа) являются значащими, поверх последней значащей цифры рисуется линия.

5. Для чисел меньше 1 нули между десятичной точкой (слева) и ненулевыми цифрами (справа) не имеют значения.

Эти правила можно резюмировать так: пишите только те цифры, которые вы имеете в виду, а если неясно, уточняйте.

Пример 1.2.4. Написание значащих цифр.

Каждый из этих номеров состоит из пяти (5) значащих цифр.

• \(\displaystyle 10267\)

• \(\displaystyle 1.2400\)

• \(\displaystyle 7201\бар{0}\)

• \(\displaystyle 2834100\)

• \(\displaystyle 0.0010527\)

КПП 1.2.5.

Сколько значащих цифр имеет \(203\)?

Сколько значащих цифр имеет \(20\bar{0}0\)?

Поскольку 203 заканчивается ненулевой цифрой, все три цифры являются значащими.

Поскольку 0 в разряде десятков помечен как значащий (черта), имеется 3 значащих цифры

Нам также нужны правила арифметики со значащими цифрами. Они основаны на двух принципах

• Результат арифметики не может быть более точным, чем наименее точное измерение.

• Количество значащих цифр не может увеличиваться.

При сложении и вычитании результат (сумма или разность) имеет ту же точность, что и наименее точное число, которое прибавляется или вычитается. После сложения или вычитания мы округляем до крайней левой, последней значащей цифры.

Пример 1.2.6. Вычитание со значащими цифрами.

\(11050-723=10330\text{.}\) Это связано с тем, что последняя значащая цифра \(11050\) является позицией 10 (с 5 в ней), тогда как последняя значащая цифра \(723\ ) — это позиция 1 (с 3 в ней). Мы не знаем позицию 1 числа 11050, поэтому мы не можем знать позицию 1 в результате.

Пример 1.2.7. Сложение со значащими цифрами.

\(311+8310+202200=210800\text{.}\) Это связано с тем, что крайняя левая, последняя значащая цифра находится в позиции 100 в 202200. Дополнительная точность двух других чисел бесполезна.

Правило сложения/вычитания значащих цифр в основном говорит о том, что добавление точных данных к неточным данным не увеличивает точность неточных данных. Подробное объяснение в этом видео.

КПП 1.2.8.

Вычислить \(646+21.12+120\text{:}\)

Вычислить \(63.97-21\text{:}\)

\(790\)

\(646+21,12+120=787,12 \приблизительно 790\), потому что \(120\) имеет значение только для позиции 10 (остальные более точны).

\(63,97-21=42,97 \приблизительно 43\), потому что \(21\) имеет значение только для позиции 1 (другая более точная).

При умножении и делении результат (произведение или частное) имеет то же количество значащих цифр, что и наименьшее количество введенных чисел.

Пример 1.2.9. Деление со значащими цифрами.

\(11050/722=15.3\text{.}\) Это потому, что \(722\) имеет только 3 значащие цифры.

Пример 1.2.10. Умножение со значащими цифрами.

\(17 \times 14\bar{0} \times 3.178= 7600\text{.}\) Это потому, что \(17\) имеет только две значащие цифры.

Правило умножения/деления значащих цифр в основном говорит о том, что цифры, которые были умножены на неточные данные, не могут быть точными. Объяснение того, почему это правило работает, в этом видео.

КПП 1.2.11.

Вычислить \(646 \times 21.12\text{:}\)

Вычислить \(63.97/21\text{:}\)

\(13600\)

\(646\times 21,12=13643,52\приблизительно 13600\), потому что \(646\) имеет только 3 значащих цифры (у другого больше).

\(63,97/21=3,0461

Правила значащих цифр должны применяться на каждом шаге. То есть, если у нас есть сочетание сложения, вычитания, умножения и деления, то мы выполняем одну операцию за раз и применяем соответствующее правило значащих цифр перед выполнением следующего арифметического шага.

Пример 1.2.12. Многошаговая арифметика со значащими цифрами.

Рассмотрим

\begin{equation*} 11 728+39(17,9+1,23). \end{equation*}

По порядку операций мы сначала вычисляем \(17,9+1,23 \приблизительно 19,1.\) Затем по порядку операций мы вычисляем \(39 \times 19,1 = 740.\) Наконец, мы вычисляем \(11,728 +740=12 470.\)

Подраздел 1.2.3 Округление

По разным причинам в приложениях нам нужно округлить число, то есть игнорировать некоторый уровень точности.

Причина округления определяет, как мы это делаем. Рассмотрим следующие ограничения реальности, требующие округления. Например, если нам нужно 21 яйцо, а яйца продаются в коробках по одной дюжине (12) яиц, нам нужно \(21/12=1,75\) коробок. Поскольку мы не можем купить часть коробки, мы должны округлить 1,75 до 2 и купить 2 коробки.

Обратите внимание, что в этом примере реальность требует округления до ближайшего целого числа. Мы округляем до целого числа, потому что мы не можем покупать дробные коробки яиц. Нам пришлось округлить, потому что округление в меньшую сторону оставило бы нам недостаточное количество яиц (а мы голодны).

Предположим, у вас есть банковский счет, содержащий 11 410 долларов США, на который начисляются 1,65% годовых. По расчетам банка, платеж должен быть равен \(\$11410\cdot 0,0165 = \$188,265\text{.}\) Банк выплатит вам $188,26. Они округляются до сотых, потому что центы — это единица, которой можно заплатить. Они округляют в меньшую сторону, потому что любят платить меньше.

Для удаления деталей рассмотрите отчет о населении страны. Мы можем сообщить о населении в 9 миллионов, а не в 9 904 607 человек. Мы делаем это, потому что нам не нужно точное число, которое, вероятно, меняется каждый день. Сообщая о диапазонах заработной платы, мы можем указать диапазон от 60 000 до 80 000 долларов США. То, что на самом деле диапазон составляет 61 233,57 и 80 290,11 долларов, вряд ли изменит решение. Обычно удаление деталей используется, когда мы заботимся о масштабе вещей, а не о количестве.

Округление для контроля ошибки — это использование значащих цифр.

Мы можем округлить до любой цифры. Мы можем округлить вверх, вниз или просто «округлить». Контекст или инструкции будут указывать, какая цифра и какой тип округления.

Пример 1.2.14. Округление вверх/вниз.

(а)

Округлите 72481 до ближайшей сотни.

72400 округляется в меньшую сторону: оставляем 4 (сотню) в покое и «обрезаем» (превращаем в 0) все цифры вправо. Примечание \(72400 \le 72481\text{.}\)

(б)

Округлите 72481 до ближайшей сотни.

72500 округляется в большую сторону: мы увеличиваем 4 до 5 и «обрезаем» (превращаем в 0) все цифры вправо. Примечание \(72500 \ge 72481\text{.}\)

(c)

округлить 72481 до ближайшей сотни.

Поскольку 72481 ближе к 72500, чем к 72400, мы округляем до 72500. Мы понимаем, что должны округлять в большую сторону, потому что позиция десятков равна \(8\ge 5\), что делает ее ближе к увеличению. Мы могли бы также признать необходимость округления, вычислив \(500-481=19\) и \(481-400=81\) и заметив, что \(81 \ge 19\text{.}\)

Пример 1.2.15. Округление вверх/вниз.

(а)

Округлите 72481 до ближайшей тысячи.

72000 округляется в меньшую сторону: мы оставляем 2 (разряд тысяч) в покое и «обрезаем» (превращаем в 0) все цифры вправо. Примечание \(72000 \le 72481\text{.}\)

(b)

Округлите 72481 до ближайшей тысячи.

73000 округляется: мы увеличиваем 2 до 3 и «обрезаем» (превращаем в 0) все цифры вправо. Примечание \(73000 \ge 72481\text{.}\)

(с)

Округлите 72481 до ближайшей тысячи.

Поскольку 72481 ближе к 72000, чем к 73000, мы округляем до 72000. Мы понимаем, что должны округлять в большую сторону, потому что положение сотен равно \(4 < 5\), что делает его ближе к уменьшению. Мы могли бы также признать необходимость округления, вычислив \(3000-2481=519\) и \(2481-2000=481\) и заметив, что \(481 < 519\text{.}\)

Пример 1.2.16. Округление до различной точности.

Округлите 72321.83 до указанной точности.

• Тысячи: 72000

• Единицы: 72322

• Десятки: 72321.8

КПП 1.2.17.

Округлить 812 247 до десятка:

Округлить 812 247 до сотни:

\(812250\)

\(812200\)

Подраздел 1.2.4 Максимально возможная ошибка

Когда мы пишем число со значащими цифрами или округляем число, мы пишем число, в котором есть ошибка. Например, если за день выпало 0,86 дюйма дождя, а мы пишем 0,9дюймов, есть погрешность 0,4. Важный вопрос: «Насколько велика может быть ошибка?».

Поскольку наше правило округления состоит в том, что цифры 0–4 округляются вниз, округляются вверх, а цифры 5–9 округляются, округление всегда будет иметь максимально возможную ошибку, равную 5. Рассмотрим пример 1.2.18.

Пример 1.2.18.

Какова наибольшая возможная ошибка, если 130 округлить до ближайших 10?

Возможно, число 130 было округлено в меньшую сторону. Тогда исходное число было одним из 130, 131, 132, 133 или 134. 134 — это самое дальнее число от 130 в точке \(134-130=4\text{.}\)

Другая возможность состоит в том, что 130 были собраны. Тогда исходное число было одним из 125, 126, 127, 128 или 129. 125 находится дальше всего в \(130-125=5\text{.}\)

Таким образом, наибольшая возможная ошибка была 5 из случая что 125 было собрано.

Обратите внимание, что в этом решении мы предполагали, что округленное число является целым числом. Однако, если бы мы разрешили 134,927 и 125,01, результат был бы таким же. дополнительные цифры не меняют округление.

Пример 1.2.19.

Какова наибольшая возможная ошибка, если 9,31 округлить до сотых?

Наибольшая возможная ошибка, если 9,31 было округлено от 9,305. Таким образом, наибольшая возможная ошибка составляет 5 тысячных.

Пример 1.2.20.

Какова наибольшая возможная ошибка, если 223 округлить до ближайшего значения?

223 можно было бы округлить от 222.1. Но это также могло быть округлено от 222.01 или чего-то еще. Таким образом, максимально возможная ошибка меньше 1 (\(223-222=1\)).

Заметьте, мы должны знать, какой тип округления использовался. В большинстве измерений (т. е. значащих цифр) будет использоваться стандартное округление. Например, подумайте об измерении на линейке: если объект не находится точно на одной из линий, вы выберете ближайшую. Ближайший требует округления.

КПП 1.

Какова наибольшая возможная ошибка, если 8120 округлить до ближайших десяти?

Это может быть любое число от 8115 до 8124. Таким образом, максимально возможная ошибка равна 5,9.0005

КПП 1.2.22.

Какова наибольшая возможная ошибка в результате \(934\bar{0}00\text{?}\)

\(50\)

Наименьшая точная цифра — это разряд сотен, обозначенный полосой. Таким образом, номер может быть любым от 933950 до 934049. Таким образом, максимально возможная ошибка равна 50.

Подраздел 1.2.5 Цели округления

Упражнения 1.2.6 Упражнения

1. Значащие цифры.

2. Подсчитайте значащие цифры.

3. Подсчитайте значащие цифры.

4. Подсчитайте значащие цифры.

5. Подсчитайте значащие цифры.

6. Подсчитайте значащие цифры.

7. Арифметика значащих цифр.

8. Арифметика значащих цифр.

9.